电磁学笔记

静电场

之所以叫静电场是为了强调场源电荷是相对静止的。因为下面的部分规则对于运动电荷/电流形成的电场不一定适用。

点电荷

元电荷的电量： $e=1.6 \times 10^{-19}C$。电荷是量子化分布的，元电荷是电荷的最小单位。任何电量都是元电荷的整数倍。

真空中静止点电荷间的作用力大小为 $F=\frac{1}{4\pi \epsilon_0}\frac{q_1q_2}{r^2}$，其中 $\epsilon_0=8.85\times 10^{-12}C^2/(N \cdot m^2)$。

电场

点电荷会向外发出电场。它是物质的另一种非实体存在形式，其对于位于其内的其他电荷有力的作用。它的定义如下：

定义式： $E=\frac{d\Phi}{dS}$，即：单位面积通过的电场线条数称为某一点的场强。 $d\Phi$称为电通量。电场线是人们假想的，描述某一点电场强度的量。

高斯定律： $\oint_SE\cdot dS=\frac{1}{\epsilon_0}\Sigma q$，q为高斯面内的电荷量代数和。

通过高斯定律我们能看出，电场是有源无旋场。

知道了空间某一区域内的电荷量之后，便可以通过高斯定律计算出来该高斯面上的平均电场强度。因此，对于受一定几何条件约束，存在对称性的空间区域，就可以利用高斯定理计算其表面的场强。

下面是一些特殊静电场的场强：

描述	公式
球面内	$E=0$
球面外	$E=\frac{q}{4\pi \epsilon_0}\frac{1}{r^2}$
球体内	$E=\frac{q}{4\pi \epsilon_0}\frac{r}{R^3}=\frac{\rho}{3\epsilon_0}r$
球体外	$E=\frac{q}{4\pi\epsilon_0}\frac{1}{r^2}$
长直导线	$E=\frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0r}$

圆盘周线上的场强：
$$
E=\frac{\delta x}{2\epsilon_0}[\frac{1}{\sqrt{x^2+R_1^2}}-\frac{1}{x^2+R^2}]
$$

电偶极子

电偶极子是一个理想化的模型：一对带有等量异号电荷，电量分别为 $+q,-q$的点电荷，彼此距离为 $l$。规定电偶极矩为 $p=ql$，其中 $l$的方向为：从负电荷指向正电荷。下面是位于电偶极子特殊位置的场强（其中 $r \gg l$）：

• 沿轴线方向的场强： $E=\frac{2p}{4\pi\epsilon_0r^3}$
• 中垂线上的场强： $E=-\frac{p}{4\pi\epsilon_0r^3}$
• 一般情况场强： $E=\frac{1}{4\pi\epsilon_0r^3}[\frac{3(r\cdot p)r}{r^2}-p]$

电势

规定某一点处的电势为：$\phi=-\int^P_{\infty}E\cdot dr=\int_P^{\infty}E\cdot dr$。也就是说，在匀强场中，有 $U=Ed$。

同时，电场具有下面的特性：$\oint E\cdot dr = 0$，即静电场和重力场一样，是保守场。

两点间的电势差：$U_{12}=\phi_1-\phi_2=-\Delta\phi$，单位： $1V=1J/C$

场强和电势还有如下关系： $E=-\nabla\phi$，即某点的场强为该点电势的梯度的负值。

静电场中的导体

导体静电平衡条件： $E_{in}=0\text{（即导体内电场为0）}, E_s\perp\text{导体表面}$。当导体处于静电平衡时，有 $\delta=\epsilon_0E$。有导体存在时，静电场的计算借助静电场的基本规律，电荷守恒和导体经典平衡条件。

静电屏蔽：金属空壳外表面的电荷和壳外的电荷在壳内的合场强为0，因而对壳内场强无影响。

唯一性定理：给定每个导体的总电量、电势，或者一些导体的总电量和另一些导体的电势，静电场的分布就唯一地确定了。电场的计算可以使用镜像法。

静电场中的介质

将介质插入电容器，则有：$U=\frac{U_0}{\epsilon_r}$。又因为 $E=\frac{U}{d}$，因而有 $E=\frac{E_0}{\epsilon_r}$

根据正负电中心是否重合，可以把分子分为两类：极性分子：有固有电矩；非极性分子：无固有电矩。外加电场会产生比固有电矩小得多的感生电矩，出现在电介质表面的电荷叫面束缚电荷/面极化电荷。分子电矩和电偶极子的电矩定义相同，为 $p=ql$。

此外，对于有电介质存在的电场，引入电位移D，有：$D=\epsilon_0E+P$。其中 $P=np$，P是电极化强度，n是电介质单位体积内的分子数（$P$单位$C/m^2$）

此时，高斯定理变形为 $\oint D\cdot dS = \Sigma q$。其中， $q$是自由电荷，$D=\epsilon E = \epsilon_0\epsilon_r E$。

边界条件： $E_{1t}=E_{2t}D_{1n}=D_{2n}$

电容器

电容器具有电容 $C$， 其定义为：$C=\frac{Q}{U}$。电容器和电阻一样可以进行串并联，且遵循:并联 $C$相加，串联 $C$倒数相加。

电介质填充规律：

• 按等势面填充: $D$不变, $E$变
• 按电场线填充: $D$变, $E$的分布“样子”不变（？）

电容器的能量： $W=\frac{1}{2}CU^2=\frac{1}{2}QU=\frac{1}{2}\frac{Q^2}{C}$

电场中的能量体密度： $W_c=\frac{1}{2}DE=\frac{1}{2}\epsilon E^2$

电场中的能量： $W=\int \frac{1}{2}\epsilon E^2dV$

常见电容器的电容计算：

• 平行板： $C=\frac{\epsilon S}{d}$
• 圆柱形： $C=\frac{2\pi L\epsilon}{ln(\frac{R_2}{R_1})}$
• 球形电容器： $C=4\pi\epsilon\frac{R_1R_2}{R_2-R_1}$
• 球形孤立导体电容器： $C=4\pi R\epsilon$

磁场

磁力是运动电荷之间相互作用的表现。

洛伦兹力：运动电荷受到磁场的作用力，为 $F=qv\times B$

磁通量是单位面积通过的磁感线的量，为 $\int_SB\cdot dS$。磁通量用于描述某点的磁感应强度。

毕萨定律描述了单位电流元在空间某一点产生的磁感应强度：$dB=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{Idl\times e_r}{r^2}$。方向通过右手螺旋定律即可确定。其中， $\mu_0$为真空磁导率，为： $\mu_0=\frac{1}{\epsilon_0c^2}=4\pi\times 19^{-7}N/A^2$，$c=\frac{1}{\sqrt{\mu_0\epsilon_0}}$

磁通连续性定理：$\oint B\cdot dS=0$， $dB=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{qv\times e_r}{r^2}$

安培环路定理： $\oint B\cdot dr=\mu_0\Sigma I_{in}$

也就是说，沿着某条闭合路径对磁场作路径积分，得到的值就是穿过其中的电流的代数和。其中，以右手定则确定正电流的方向。

也可以写作如下形式：

$$
\oint B\cdot dR=\mu_0\int_S(J_c+\epsilon_0\frac{\delta E}{\delta t}\cdot dS)
$$

传导电流 $I_c$， 位移电流 $I_d=\epsilon_0\frac{d\Phi}{dt}=\epsilon_0\frac{d}{dt}\int_SE\cdot dS$，位移电流密度： $J_d=\epsilon_0\frac{\delta E}{\delta t}$， 全电流： $I=I_c+I_d$

典型电流分布的磁场

无限长直电流 $$B=\frac{\mu_0I}{2\pi r}$$
一段直导线（上面情况的一般化）$$B=\frac{\mu_0I}{4\pi r}(cos\theta_1-cos\theta_2)$$
无限长均匀载流薄圆筒 $$B_{in}=0 ;B_{out}=\frac{\mu_0I}{2\pi r}$$
无限长直载流密绕螺绕管 / 螺绕环 $$B_{in}=\mu_0nI; B_{out}=0$$
$n$是单位长度的匝数。显然，对于螺绕环，有 $n=\frac{N}{2\pi r}$

无限大平面电流 $$B\cdot2l=\mu_0jl$$
圆电流圈中心点和轴线上的磁场 $$B_{center}=\frac{\mu_0I}{2R}; B_{axis}=\frac{\mu_0IS}{2\pi(R^2+x^2)^{\frac{3}{2}}}$$

磁矩

$$
B=\frac{\mu_0}{4\pi r^3}[\frac{3(r\cdot m)r}{r^2}-m]
$$

其中， $r\gg\text{磁矩线度}$

磁矩、电流圈在外磁场中的势能 $W=-mB_{\text{外}}=-IS\cdot B_{\text{外}}$

$$
r=\frac{mv}{qB}
$$

$$
T=\frac{2\pi m}{qB}v
$$

霍尔效应： $$U_H=R_H\frac{IB}{d};F=\int_LIdl\times B$$

磁矩：

$$
m=SIe_n
$$

力矩：

$$
M=m\times B
$$

导线框受到的力矩就可以像上边这么计算。磁矩就是导线框面积和导线框电流的乘积。若线圈有$N$匝，则乘以$N$即可。

电磁感应

感应电动势：

$$
E=\frac{d\phi}{dt}=-N\frac{d\phi}{dt}
$$
当穿过各匝线圈的磁通量相等时,N 匝线圈的全磁通为 $\Psi=N\Phi$

动生电动势 $E=\oint_L(v\times B)dl$，$\lvert E\rvert=Blv$
感生电动势 $\oint_LE_i\cdot dl=-\frac{d\phi}{dt}=-\int_S\frac{\delta B}{\delta t}\cdot dS$。其中， $E_i$表示感生电场，由于静电场的环路积分为零, 所以 $\oint_LE\cdot dr=-\int_S \frac{\delta B}{\delta t}\cdot dS$

$$
\Psi_{21}=M_{21}i_1 \
E_{12}=-\frac{d\psi_{21}}{dt}=-M_{21}\frac{di}{dt}
$$
$M_{21}$是回路 $L_1$对回路 $L_2$的互感系数, 固定回路的互感系数是一个常数, $M_{21}=M_{12}=M$，$M$称作这两个导体回路的互感系数, 简称他们的互感。

$$
E_L=-\frac{d\psi}{dt}=-L\frac{di}{dt},L=\frac{\psi}{i}
$$
称为自感系数，简称自感

自感磁能

$$
W_m=\frac{1}{2}LI^2
$$

磁场的能量

$$
W_m=\frac{B^2}{2\mu}V=\int \frac{BH}{2}dV
$$

磁能量密度

$$
W_m=\frac{1}{2}BH=\frac{1}{2}\mu H^2
$$

麦克斯韦方程组和电磁辐射

$$
\left{
\begin{aligned}
&\oint_SE\cdot dS =\frac{q}{\epsilon_0}=\frac{1}{\epsilon_0}\int_V\rho dV\
&\oint_SB\cdot dS =0\
&\oint_LE\cdot dr =-\frac{d\psi}{dt}=-\int_S\frac{\delta B}{\delta t}\cdot dS\
&\oint_LB\cdot dr =\mu_0I+\frac{1}{c^2}\frac{d\Phi_c}{dt}=\mu_0\int_S(J+\epsilon_0\frac{\delta E}{\delta t})
\end{aligned}
\right.
$$

麦克斯韦方程组是描述电磁场的基本方程组，包括四个方程：高斯定律、安培环路定理、法拉第电磁感应定律和磁场无源性定理。这四个方程分别描述了电荷、电流、电场和磁场之间的相互作用关系。其中，高斯定律描述了电荷对电场的影响，安培环路定理描述了电流对磁场的影响，法拉第电磁感应定律描述了磁场对电场的影响，磁场无源性定理描述了磁场的本质特性。

电磁辐射是指电磁波在空间中的传播过程。电磁波是由电场和磁场相互作用而产生的一种波动现象，其传播速度为光速。电磁辐射的产生需要满足一定的条件，即电荷或电流的加速度必须存在。电磁辐射的能量密度与电场和磁场的强度有关，其传播方向垂直于电场和磁场的方向。电磁辐射在通信、雷达、医学等领域有着广泛的应用。