圆锥曲线-抛物线速解

作者:xeonds | 2021.07.06 14:45:18

title: 圆锥曲线-抛物线速解
author: xeonds
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  • 数学

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date: 2021-03-07 11:22:00

主要内容:反设斜截式,平均性质,极点极线,设点方法。

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反设斜截式

一般的,在开口向右的抛物线中,为了方便起见,会把直线设成这种形式:
$$ x=my+t $$
其中,$t$可以是$\frac{p}{2}$,即该直线过焦点。

平均性质

假设有一条直线:

像这样

$AB$与抛物线交于两点且过点$(t,0)$,连接$(-t,0)$和$B$点交抛物线于$A'$点,则有$A$和$A'$关于$x$轴对称:
$x_Ax_B = t^2$,$x_{A'}x_B=(-t)^2$,所以$x_A=x_{A'}$

证明:如图所示。

)

设点方法

在抛物线中,我们一般这么设点:

  • 开口向右($x^2=xpy$):$A(x_0,\frac{x_0^2}{2p})$
  • 开口向上($y^2=2px$):$A(\frac{y_0^2}{2p},y_0)$

切线性质

如图,作过抛物线焦点的弦,交抛物线$x^2=2y$于$A$,$B$,分别作抛物线在点$A$,$B$处的切线$l_1$,$l_2$,则必有$l_1$与$l_2$交于抛物线的准线上一点$D$。

阿基米德三角形

这样的三角形$ABD$,我们称之为:阿基米德三角形

对于此模型中的计算,我们一般会引入坐标当参数。如果要计算切线的斜率,会求导计算;如果焦点在$x$轴,我们可以用隐函数求导、分类讨论或者极点极线法。

点差法

以下摘自百度百科

点差就是在求解圆锥曲线并且题目中交代直线与圆锥曲线相交被截的线段中点坐标的时候,利用直线和圆锥曲线的两个交点,并把交点代入圆锥曲线的方程,并作差。求出直线的斜率,然后利用中点求出直线方程。

利用点差法可以减少很多的计算,所以在解有关的问题时用这种方法比较好。

具体步骤
  1. 设直线和圆锥曲线交点为$(x_1,y_1)$,$(x_2,y_2)$,其中点坐标为$(x_0,y_0)$,则得到关系式$x_1+x_2=2x_0$,$y_1+y_2=2y_0$.
  2. 把$(x_1,y_1)$,$(x_2,y_2)$分别代入圆锥曲线的解析式,并作差,利用平方差公式对结果进行因式分解.因式分解的结果必为$A(x_1-x_2)+B(y_1-y_2)=0$,其中$A$和$B$根据圆锥曲线的类型来决定具体数值,一般来说会包含有$(x_1+x_2)$和$(y_1+y_2)$两项.
  3. 利用$k=\frac{(y_1-y_2)}{(x_1-x_2)}$求出直线斜率,代入点斜式得直线方程为$y-y_0=\frac{(y_1-y_2)}{(x_1-x_2)}(x-x_0)$
  4. 对于椭圆来说:$\frac{x_0}{a^2}+\frac{y_0}{b^2}k=0$

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