信号与系统笔记
考核：
平时成绩 30%
阶段考核 10%
慕课考核 10%
期末考试 50%
1-信号与系统
1.1-信号与系统的概念
信号 是信息的载体
系统 是若干事物组成的功能性整体，其基本作用是对信号进行传输和处理。输入信号（激励），系统产生输出（响应）。
信号处理 对信号加工处理，去除无关信息。
通信过程分为两种，有线和无线。
1.2-信号的描述
描述
信号是信息的一种物理体现，一般是随时间或位置变化的物理量。可以分为电信号和非电信号。二者可以相互转换。
描述方式有函数和波形描述。
分类
按照实际用途可以分为电视，雷达，控制信号等等
按照所具有的时间特性划分：
- 确定信号和随机信号 能否用确定的时间函数表示的信号。
- 连续信号和离散信号 连续的时间范围内是否有定义的信号。
连续信号和离散信号分别可以对应模拟信号（时间和幅值均连续的信号）和数字信号。信号传输时通常采用数字信号的形式传输，在系统中使用时会重新解码为模拟信号。
模拟转数字过程：先抽样，转化为抽样信号（时间离散，幅值连续的信号）；再量化，转化为幅值和时间均为离散的信号（把一个区间内的值都映射为一个值），随后将信号进行编码再发射出去。
![[Pasted image 20221220093016.png]]
- 周期信号和非周期信号 定义域在$(-\infty, +\infty)$间，每隔$T$重复的信号。
判断两个周期信号的和信号是否为周期信号 设两信号周期分别为$T_1,T_2$，若$\frac{T_1}{T_2}$为有理数，则和信号是周期信号，且周期为$T_1,T_2$的最小公倍数。
正弦信号一定是周期信号，其和则不一定。
判断$f(k)=sin(\beta k)$是否为周期信号 ![[Pasted image 20221220094043.png]]
上面的$\beta$称为数字角频率，这意味着把信号离散化了。正弦序列不一定是周期序列，两个周期序列之和一定是周期序列。
- 能量信号与功率信号
信号瞬时功率 将信号$f(t)$施加到$1\Omega$的电阻上，其瞬时功率为$\vert{f(t)}\vert^2$。能量和平均功率的定义为：
$$E=\int \vert{f(t)}\vert^2 dt$$
$$P=lim_{t \to \infty}\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}\vert{f(t)}\vert^2 dt$$
若能量有界，则称为能量有限信号/能量信号。此时$P=0$；若功率有界，则称为功率有限信号/功率信号，此时$E=\infty$。
对于离散信号也一样，将积分改为求和即可：![[Pasted image 20221220095410.png]]
- 一维信号和多维信号 如音频信号/图像信号
- 因果信号与反因果信号 $t<0,f(t)=0$即因果信号，$t\geq 0, f(t)=0$ 称为反因果信号
- 确定性信号
- 指数信号$f(t)=Ke^{\alpha t}$ 若只保留$t\geq 0$的部分则称为单边信号
- 正弦信号$f(t)=Ksin(\omega t+\theta)$ 在前面乘一个衰减的指数信号则称为衰减正弦信号
- 复指数信号 把指数信号的$\alpha$换为$s=\sigma +j\omega$，即复数，这称为复频率![[Pasted image 20221220100315.png]]
- 抽样信号$Sa(t)=\frac{sin t}{t}$，向两侧衰减的余弦信号![[Pasted image 20221220100538.png]]
1.3-信号的基本运算
加法和乘法
- 连续信号：函数相加/乘
- 离散信号：对应各离散量相加/乘
信号的时间变换
- 反转：将 $f(t)\to f(-t)$ ，$f(k)\to f(-k)$ 称为对信号$f(\cdot)$的反转或反折。从图形上看是将$f(\cdot)$以纵坐标为轴反转$180^o$：
- 平移：将 $f (t) → f (t – t_0)$ ， $f (k) → f (k – k_0)$称为对信号$f (·)$的平移或移位。若$t_0$ (或$k_0$) $>0$，则将$f (·)$右移；否则左移
- 展缩：将 $f (t) → f (at)$ ， 称为对信号$f(t)$的尺度变换。若$a >1$ ，则波形沿横坐标压缩；若$0< a < 1$ ，则扩展：
组合变换
原图进行变换：
变换得到原图：
1.4-阶跃函数和冲激函数
这俩是奇异函数（函数本身有不连续点(跳变点) 或 其导数与积分有不连续点 的一类函数）
阶跃函数
函数如下：$\epsilon(t)=0:x<=0;1,x>0$
单位冲激函数
- 函数值只在t = 0时不为零
- 积分面积为1
- $t=0$时，$\delta(t)\to \infty$，为无界函数
对$\epsilon(t)$求导即可得到单位冲激函数$\delta(t)$。它高度无穷高，厚度无穷窄，面积为1。反过来，对单位冲激函数积分就可以得到$\epsilon(t)$。
它有如下重要性质：
- 取样性：
例如：
- $sin(t+\frac{\pi}{4})\delta(t)=sin(\frac{\pi}{4})\delta(t)=\frac{\sqrt{2}}{2}$
- $\int_{-\infty}^{\infty}{sin(t-\frac{\pi}{4})\delta(t)}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$
- 冲激偶：
- 尺度变换：
2-连续系统的时域分析
2.1-LTI连续系统的响应
- 微分方程的经典解
步骤相对固定：
先计算通解，再计算特解，随后回代特解和激励，得到特解的系数；最后回代，利用初始条件得到方程的未知系数。
- 计算通解：就是方程对应齐次微分方程的解。得到特征根后即可写出通解
- 计算特解：根据激励的形态确定特解形式。激励形式有指数、幂级数、三角函数三种形式，以及冲激函数。前三种有固定的特解形式
- 回代得到特解系数：就是回代，然后化简，就能得到特解系数
- 得到全解：通解=齐次解+特解。最后代入初始条件得到通解的系数，即可得到全解
关于$0_-$和$0_+$值
零输入响应
零状态响应
全响应
一般情况下，根据换路定律，二者应该是相等的。但是当激励中含有冲激函数及其导数时，$t=0$激励接入系统时，响应及其导数就可能发生跃变。这种情情况下，就需要手工计算二者。通常有两种方法：积分法和待定系数法。
2.2-冲激响应和阶跃响应
2.3-零状态响应与卷积积分
根据LTI系统的线性性质、齐次性质、时不变性质可以得到，任意激励$f(t)$的响应$y_{zs}(t)$为：
$$
y_{zs}(t)=\int_{-\infty}^{\infty}{}f(\tau)h(t-\tau)d\tau=f(t)*h(t)
$$
从直观上看，这相当于：$f(t)$引发的响应等于所有构成它的冲激函数单独作用引起的响应之和。
从而，计算LTI系统响应就可以直接用卷积积分计算，无需求解经典微分方程。一般步骤：
- 求$h(t)$：这一步就是求解微分方程，得到系统响应
- 求$y_{zs}(t)$：直接用任意激励$f(t)$卷上系统响应$h(t)$就能得到零状态响应$y_{zs}(t)$
2.4-卷积积分
定义：一般而言，有两个定义在实数域上的函数$f_1(t)$和$f_2(t)$，它们的卷积积分定义为：
$$
f(t)=f_1(t)*f_2(t)=\int_{-\infty}^{\infty}{f_1(\tau)f_2(t-\tau)d\tau}
$$
计算方法也很多，比如图解法：已知二者波形时，先换元，将$t$换为$\tau$；再将$f_2(\tau)$变换为$f_2(t-\tau)$；随后将二者相乘，最后将乘积对$\tau$积分。注意，这里对乘积积分时，需要注意到$t$是个不确定的变量，应该分区间讨论。
性质：首先是代数运算，它满足
- 交换律
- 分配律
- 结合律
其次，是函数和冲激函数的卷积，这是最简单的一种情况。有以下结论：
$$
f(t)*\delta(t)=\delta(t)*f(t)=\int_{-\infty}^{\infty}{\delta(\tau)f(t-\tau)d\tau}=f(t)
$$
也就是任意函数卷上$\delta(t)$得到它本身。推广得：
$$
f(t)*\delta(t-t_0)=\delta(t-t_0)*f(t)=f(t-t_0)
$$
还可以得到：
$$
f_1(t-t_1)*f_2(t-t_2)=f_1(t-t_2)*f_2(t-t_1)=f_1(t)*f_2(t)*\delta(t-t_1-t_2)
$$
此外，还有：$f(t)*\delta’(t)=f’(t)$成立