导数解题笔记

最近在学导数大题解法，就在这里记下我的学习心得吧。

零碎心得

• 求导后，尽量将导数因式分解。求导的主要目的是研究原函数的单调性，故只需关注它的正负。而因式分解后它的正负情况一目了然。可以很直观地看出影响正负的因素进而求解恒成立，最小值等一系列问题。

处理导数题常用方法

• 直接求导法。对于一些简单题只需要求导得到原函数增减性，进而得到极值，零点等。

• 分离参数法。适用于含有参数的项能够合并的情况。使用应考虑分参后得到的另一边的函数是否易于研究。如果难以研究，那么可以考虑更换其他方法研究。

• 构造函数法。现在见到的有两种方法。其一是移项构造新函数，其二是在等式两边构造形似函数，通过研究该函数的单调性来解题。

• 主元法。它的核心思想就是将式中的参数（比如a）看作自变量，这样式子的单调性就很容易判断了，式子的最值或取值范围也因此更好判断。也就是说，主元法最大的作用就是消参。

• 端点效应。通过对式子的观察，有时我们可以发现一些很明显的零点。比如对于f(x)=ln(x+1)-x，我们可以直接发现x=0是一个零点。并且不难发现f'(0)=0这个特殊点。因此很容易就可以得出f(x)的增减性。

• 隐零点法。有时我们做导数题，利用导函数判断单调性时，会碰到f'(x)=ln(x)-x之类难以直接求出零点的式子。这时不需要直接求出零点，只需要假设f’(x)的零点，也就是假设f(x)的极值点（比如此处假设a是f’(x)的一个零点），再将ln(a)-a=0的等量关系代入f(a)，即可求出f(x)的极值大小。

• 放缩法。主要是证明不等式的时候用。在导数的恒成立问题中也有用武之地。比如说，要证一个函数在正实数域恒小于0，你已经求得它的最大值，它可能是这样的：ln(x)-x（或者其他更复杂的形式）。如果你发现这种形式不太好求它的极大值是否大于0，那么我们就可以用常用放缩式ln(x)≤x-1把它放大，得到ln(x)-x≤x-1-x=-1<0，问题解决。不过在使用放缩法的时候一定注意不等号方向，放反了可就不好玩了（